Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfss3 |
⊢ ( 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) |
2 |
|
ssexg |
⊢ ( ( 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ∈ Top ) → 𝐵 ∈ V ) |
3 |
2
|
ancoms |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → 𝐵 ∈ V ) |
4 |
|
eltg2b |
⊢ ( 𝐵 ∈ V → ( 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥 ) ) ) |
5 |
3 4
|
syl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥 ) ) ) |
6 |
5
|
ralbidv |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 𝑥 ∈ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥 ) ) ) |
7 |
1 6
|
syl5bb |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ) → ( 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥 ) ) ) |
8 |
7
|
biimp3ar |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥 ) ) → 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) |
9 |
|
basgen |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐽 ⊆ ( topGen ‘ 𝐵 ) ) → ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ) |
10 |
8 9
|
syld3an3 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵 ⊆ 𝐽 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝑥 ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ( 𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ⊆ 𝑥 ) ) → ( topGen ‘ 𝐵 ) = 𝐽 ) |