Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano2nn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ) |
2 |
|
nn0z |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
3 |
|
bccmpl |
⊢ ( ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑁 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑁 ) ) ) |
4 |
1 2 3
|
syl2anc |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑁 ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑁 ) ) ) |
5 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
6 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
7 |
|
pncan2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ) → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑁 ) = 1 ) |
8 |
5 6 7
|
sylancl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑁 ) = 1 ) |
9 |
8
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) C ( ( 𝑁 + 1 ) − 𝑁 ) ) = ( ( 𝑁 + 1 ) C 1 ) ) |
10 |
|
bcn1 |
⊢ ( ( 𝑁 + 1 ) ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) C 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
11 |
1 10
|
syl |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) C 1 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |
12 |
4 9 11
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( ( 𝑁 + 1 ) C 𝑁 ) = ( 𝑁 + 1 ) ) |