Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bcval2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) ) |
2 |
|
fznn0sub2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
3 |
|
bcval2 |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) ) |
4 |
2 3
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) ) |
5 |
|
elfznn0 |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ℕ0 ) |
6 |
5
|
faccld |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ∈ ℕ ) |
7 |
6
|
nncnd |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ∈ ℂ ) |
8 |
2 7
|
syl |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ∈ ℂ ) |
9 |
|
elfznn0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
10 |
9
|
faccld |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ! ‘ 𝐾 ) ∈ ℕ ) |
11 |
10
|
nncnd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ! ‘ 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
12 |
8 11
|
mulcomd |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) = ( ( ! ‘ 𝐾 ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) |
13 |
|
elfz3nn0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
14 |
|
elfzelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
15 |
|
nn0cn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ ) |
16 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ ) |
17 |
|
nncan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = 𝐾 ) |
18 |
15 16 17
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = 𝐾 ) |
19 |
13 14 18
|
syl2anc |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = 𝐾 ) |
20 |
19
|
fveq2d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ! ‘ ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) = ( ! ‘ 𝐾 ) ) |
21 |
20
|
oveq1d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( ! ‘ ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝐾 ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) |
22 |
12 21
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) = ( ( ! ‘ ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) |
23 |
22
|
oveq2d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) · ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) ) ) |
24 |
4 23
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = ( ( ! ‘ 𝑁 ) / ( ( ! ‘ ( 𝑁 − 𝐾 ) ) · ( ! ‘ 𝐾 ) ) ) ) |
25 |
1 24
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
26 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
27 |
|
bcval3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = 0 ) |
28 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
29 |
|
nn0z |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
30 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
31 |
29 30
|
sylan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
32 |
31
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
33 |
|
fznn0sub2 |
⊢ ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
34 |
18
|
eleq1d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ↔ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
35 |
33 34
|
syl5ib |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
36 |
35
|
con3d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) → ¬ ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) ) |
37 |
36
|
3impia |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ¬ ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) |
38 |
|
bcval3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ℤ ∧ ¬ ( 𝑁 − 𝐾 ) ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = 0 ) |
39 |
28 32 37 38
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) = 0 ) |
40 |
27 39
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
41 |
40
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ ( 0 ... 𝑁 ) ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |
42 |
26 41
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 C 𝐾 ) = ( 𝑁 C ( 𝑁 − 𝐾 ) ) ) |