Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
btwntriv2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) |
2 |
1
|
3adant3r2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) |
3 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
5 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
6 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
7 |
|
axpasch |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) ) |
8 |
3 4 5 6 5 6 7
|
syl132anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝐶 〉 ∧ 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) ) |
9 |
2 8
|
mpan2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝐶 〉 → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) ) |
10 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
12 |
|
simplr1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
13 |
|
axbtwnid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 → 𝑥 = 𝐴 ) ) |
14 |
10 11 12 13
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 → 𝑥 = 𝐴 ) ) |
15 |
|
breq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ↔ 𝐴 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |
16 |
15
|
biimpd |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 → 𝐴 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |
17 |
14 16
|
syl6 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 → ( 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 → 𝐴 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) ) |
18 |
17
|
impd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) → 𝐴 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |
19 |
18
|
rexlimdva |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑥 Btwn 〈 𝐴 , 𝐴 〉 ∧ 𝑥 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) → 𝐴 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |
20 |
9 19
|
syld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐴 Btwn 〈 𝐵 , 𝐶 〉 → 𝐴 Btwn 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |