Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-3or |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
2 |
|
cador |
⊢ ( cadd ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
3 |
|
andi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ) |
4 |
3
|
orbi1i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∨ ( 𝜑 ∧ 𝜒 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
5 |
1 2 4
|
3bitr4i |
⊢ ( cadd ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) |
6 |
|
ordir |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ∧ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) ) |
7 |
|
ordi |
⊢ ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ) |
8 |
|
orcom |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) |
9 |
|
animorl |
⊢ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) → ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) |
10 |
|
pm4.72 |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) → ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ↔ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) ) |
11 |
9 10
|
mpbi |
⊢ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ↔ ( ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) |
12 |
8 11
|
bitr4i |
⊢ ( ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ↔ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) |
13 |
7 12
|
anbi12i |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ∧ ( ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ∨ ( 𝜓 ∧ 𝜒 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) |
14 |
5 6 13
|
3bitri |
⊢ ( cadd ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) |
15 |
|
df-3an |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ↔ ( ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) |
16 |
14 15
|
bitr4i |
⊢ ( cadd ( 𝜑 , 𝜓 , 𝜒 ) ↔ ( ( 𝜑 ∨ 𝜓 ) ∧ ( 𝜑 ∨ 𝜒 ) ∧ ( 𝜓 ∨ 𝜒 ) ) ) |