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Theorem cdleme35sn3a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 19-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme32s.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme32s.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme32s.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme32s.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme32s.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme32s.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme32s.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme32s.d 𝐷 = ( ( 𝑠 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑠 ) 𝑊 ) ) )
cdleme32s.n 𝑁 = if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
Assertion cdleme35sn3a ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ¬ 𝑅 / 𝑠 𝑁 ( 𝑃 𝑄 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme32s.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme32s.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme32s.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme32s.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme32s.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme32s.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme32s.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
8 cdleme32s.d 𝐷 = ( ( 𝑠 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑠 ) 𝑊 ) ) )
9 cdleme32s.n 𝑁 = if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
10 eqid ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) )
11 2 3 4 5 6 7 10 cdleme35fnpq ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ¬ ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) ) ( 𝑃 𝑄 ) )
12 simp2rl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑅𝐴 )
13 simp3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) )
14 8 9 10 cdleme31sn2 ( ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑅 / 𝑠 𝑁 = ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) ) )
15 12 13 14 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑅 / 𝑠 𝑁 = ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) ) )
16 15 breq1d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑅 / 𝑠 𝑁 ( 𝑃 𝑄 ) ↔ ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) ) ( 𝑃 𝑄 ) ) )
17 11 16 mtbird ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ¬ 𝑅 / 𝑠 𝑁 ( 𝑃 𝑄 ) )