Theorem cdleme31sn2

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 26-Feb-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme32sn2.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
	cdleme31sn2.n	⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
	cdleme31sn2.c	⊢ 𝐶 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) )
Assertion	cdleme31sn2	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme32sn2.d	⊢ 𝐷 = ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
2		cdleme31sn2.n	⊢ 𝑁 = if ( 𝑠 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐷 )
3		cdleme31sn2.c	⊢ 𝐶 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) )
4		eqid	⊢ if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 ) = if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 )
5	2 4	cdleme31sn	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 ) )
6	5	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 ) )
7		iffalse	⊢ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 )
8	1	csbeq2i	⊢ ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) )
9	7 8	eqtrdi	⊢ ( ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) → if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 ) = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
10		nfcvd	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → Ⅎ 𝑠 ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
11		oveq1	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) )
12		oveq2	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) )
13	12	oveq1d	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) )
14	13	oveq2d	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) )
15	11 14	oveq12d	⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
16	10 15	csbiegf	⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ ( ( 𝑠 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑠 ) ∧ 𝑊 ) ) ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
17	9 16	sylan9eqr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → if ( 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐼 , ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝐷 ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
18	6 17	eqtrd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑄 ∨ ( ( 𝑃 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑊 ) ) ) )
19	18 3	eqtr4di	⊢ ( ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 = 𝐶 )