Metamath Proof Explorer


Theorem cdleme36a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 11-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme36.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdleme36.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme36.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme36.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme36.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme36.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme36.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme36.e 𝐸 = ( ( 𝑡 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑡 ) 𝑊 ) ) )
Assertion cdleme36a ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑅 ( 𝑡 𝐸 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme36.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdleme36.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdleme36.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdleme36.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdleme36.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdleme36.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdleme36.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
8 cdleme36.e 𝐸 = ( ( 𝑡 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑡 ) 𝑊 ) ) )
9 simp3r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) )
10 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
11 simp22l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑅𝐴 )
12 simp3ll ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑡𝐴 )
13 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
14 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
15 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑄𝐴 )
16 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑃𝑄 )
17 2 3 4 5 6 7 cdleme0a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑃𝑄 ) ) → 𝑈𝐴 )
18 13 14 15 16 17 syl112anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑈𝐴 )
19 simp12l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑃𝐴 )
20 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) )
21 2 3 4 5 6 7 cdleme0c ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) → 𝑈𝑅 )
22 13 19 15 20 21 syl121anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑈𝑅 )
23 22 necomd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑅𝑈 )
24 2 3 5 hlatexch2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅𝐴𝑡𝐴𝑈𝐴 ) ∧ 𝑅𝑈 ) → ( 𝑅 ( 𝑡 𝑈 ) → 𝑡 ( 𝑅 𝑈 ) ) )
25 10 11 12 18 23 24 syl131anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ( 𝑡 𝑈 ) → 𝑡 ( 𝑅 𝑈 ) ) )
26 simp3l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) )
27 2 3 4 5 6 7 8 cdleme1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ) ) → ( 𝑡 𝐸 ) = ( 𝑡 𝑈 ) )
28 13 19 15 26 27 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑡 𝐸 ) = ( 𝑡 𝑈 ) )
29 28 breq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ( 𝑡 𝐸 ) ↔ 𝑅 ( 𝑡 𝑈 ) ) )
30 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) )
31 2 3 4 5 6 7 cdleme4 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) = ( 𝑅 𝑈 ) )
32 13 19 15 20 30 31 syl131anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) = ( 𝑅 𝑈 ) )
33 32 breq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ↔ 𝑡 ( 𝑅 𝑈 ) ) )
34 25 29 33 3imtr4d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅 ( 𝑡 𝐸 ) → 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) )
35 9 34 mtod ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ( 𝑡𝐴 ∧ ¬ 𝑡 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑡 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑅 ( 𝑡 𝐸 ) )