Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme36a

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 11-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme36.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme36.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme36.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme36.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme36.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme36.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme36.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme36.e 
|- E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme36a 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. R .<_ ( t .\/ E ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme36.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme36.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme36.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme36.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme36.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme36.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme36.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme36.e 
 |-  E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) )
10 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL )
11 simp22l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R e. A )
12 simp3ll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> t e. A )
13 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
14 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
15 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A )
16 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P =/= Q )
17 2 3 4 5 6 7 cdleme0a 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> U e. A )
18 13 14 15 16 17 syl112anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> U e. A )
19 simp12l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A )
20 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
21 2 3 4 5 6 7 cdleme0c 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> U =/= R )
22 13 19 15 20 21 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> U =/= R )
23 22 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R =/= U )
24 2 3 5 hlatexch2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( R e. A /\ t e. A /\ U e. A ) /\ R =/= U ) -> ( R .<_ ( t .\/ U ) -> t .<_ ( R .\/ U ) ) )
25 10 11 12 18 23 24 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .<_ ( t .\/ U ) -> t .<_ ( R .\/ U ) ) )
26 simp3l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) )
27 2 3 4 5 6 7 8 cdleme1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) ) -> ( t .\/ E ) = ( t .\/ U ) )
28 13 19 15 26 27 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( t .\/ E ) = ( t .\/ U ) )
29 28 breq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .<_ ( t .\/ E ) <-> R .<_ ( t .\/ U ) ) )
30 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
31 2 3 4 5 6 7 cdleme4 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( R .\/ U ) )
32 13 19 15 20 30 31 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( R .\/ U ) )
33 32 breq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( t .<_ ( P .\/ Q ) <-> t .<_ ( R .\/ U ) ) )
34 25 29 33 3imtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( R .<_ ( t .\/ E ) -> t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
35 9 34 mtod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. R .<_ ( t .\/ E ) )