Metamath Proof Explorer

Theorem cdleme36m

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Show that f(x) is one-to-one on P .\/ Q line. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 11-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdleme36.b 
|- B = ( Base ` K )
cdleme36.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme36.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme36.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme36.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme36.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme36.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme36.e 
|- E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdleme36.v 
|- V = ( ( t .\/ E ) ./\ W )
cdleme36.f 
|- F = ( ( R .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ R ) ./\ W ) ) )
cdleme36.c 
|- C = ( ( S .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ S ) ./\ W ) ) )
Assertion cdleme36m 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R = S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme36.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdleme36.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdleme36.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdleme36.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 cdleme36.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
6 cdleme36.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
7 cdleme36.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8 cdleme36.e 
 |-  E = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9 cdleme36.v 
 |-  V = ( ( t .\/ E ) ./\ W )
10 cdleme36.f 
 |-  F = ( ( R .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ R ) ./\ W ) ) )
11 cdleme36.c 
 |-  C = ( ( S .\/ V ) ./\ ( E .\/ ( ( t .\/ S ) ./\ W ) ) )
12 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
13 simp3rl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( t e. A /\ -. t .<_ W ) )
14 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
15 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
16 simp21 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
17 simp3rr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. t .<_ ( P .\/ Q ) )
18 2 3 4 5 6 7 8 cdleme3fa 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> E e. A )
19 12 14 15 13 16 17 18 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> E e. A )
20 2 3 4 5 6 7 8 cdleme3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. E .<_ W )
21 12 14 15 13 16 17 20 syl132anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. E .<_ W )
22 19 21 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( E e. A /\ -. E .<_ W ) )
23 simp13l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Q e. A )
24 23 16 jca 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ P =/= Q ) )
25 2 3 4 5 6 7 8 cdleme3b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) ) ) -> E =/= t )
26 12 14 24 13 25 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> E =/= t )
27 26 necomd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> t =/= E )
28 simp22 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) )
29 simp23 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) )
30 simp3l1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) )
31 simp3r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) )
32 1 2 3 4 5 6 7 8 cdleme36a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. R .<_ ( t .\/ E ) )
33 12 14 23 16 28 30 31 32 syl331anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. R .<_ ( t .\/ E ) )
34 simp3l2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> S .<_ ( P .\/ Q ) )
35 1 2 3 4 5 6 7 8 cdleme36a 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A ) /\ ( P =/= Q /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ ( t .\/ E ) )
36 12 14 23 16 29 34 31 35 syl331anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. S .<_ ( t .\/ E ) )
37 simp3l3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> F = C )
38 2 3 4 5 6 9 10 11 cdleme35h 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ ( E e. A /\ -. E .<_ W ) ) /\ ( t =/= E /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( -. R .<_ ( t .\/ E ) /\ -. S .<_ ( t .\/ E ) /\ F = C ) ) -> R = S )
39 12 13 22 27 28 29 33 36 37 38 syl333anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ S .<_ ( P .\/ Q ) /\ F = C ) /\ ( ( t e. A /\ -. t .<_ W ) /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R = S )