Theorem cdleme42d

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Match ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x . (Contributed by NM, 6-Mar-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme42.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdleme42.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdleme42.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdleme42.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdleme42.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdleme42.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdleme42.v	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
Assertion	cdleme42d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme42.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdleme42.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdleme42.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdleme42.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdleme42.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdleme42.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdleme42.v	⊢ 𝑉 = ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 )
8	7	oveq2i	⊢ ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) = ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) )
9	1 2 3 4 5 6 7	cdleme42a	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) )
10	9	oveq1d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) = ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) )
11	10	oveq2d	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) ) )
12	8 11	eqtr2id	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ∨ ( ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) ∧ 𝑊 ) ) = ( 𝑅 ∨ 𝑉 ) )