Metamath Proof Explorer


Theorem cdleme7b

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme7ga and cdleme7 . (Contributed by NM, 7-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme4.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme4.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme4.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme4.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme4.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme4.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme4.f 𝐹 = ( ( 𝑆 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
cdleme4.g 𝐺 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝐹 ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
cdleme7.v 𝑉 = ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 )
Assertion cdleme7b ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑉𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme4.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme4.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme4.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme4.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme4.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme4.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
7 cdleme4.f 𝐹 = ( ( 𝑆 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
8 cdleme4.g 𝐺 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝐹 ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
9 cdleme7.v 𝑉 = ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 )
10 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
11 simp2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) )
12 simp31 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑆𝐴 )
13 simp33 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) )
14 simp32 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) )
15 nbrne2 ( ( 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑅𝑆 )
16 13 14 15 syl2anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑅𝑆 )
17 1 2 3 4 5 lhpat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑅𝑆 ) ) → ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
18 10 11 12 16 17 syl112anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ( ( 𝑅 𝑆 ) 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
19 9 18 eqeltrid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ∧ ( 𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → 𝑉𝐴 )