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Theorem cdlemg4b2

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 24-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg4.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemg4.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemg4.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg4.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg4.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg4.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemg4b.v 𝑉 = ( 𝑅𝐺 )
Assertion cdlemg4b2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑉 ) = ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg4.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdlemg4.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
3 cdlemg4.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
4 cdlemg4.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
5 cdlemg4.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
6 cdlemg4.j = ( join ‘ 𝐾 )
7 cdlemg4b.v 𝑉 = ( 𝑅𝐺 )
8 eqid ( meet ‘ 𝐾 ) = ( meet ‘ 𝐾 )
9 1 6 8 2 3 4 5 trlval2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅𝐺 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
10 9 3com23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( 𝑅𝐺 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
11 7 10 syl5eq ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → 𝑉 = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
12 11 oveq2d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑉 ) = ( ( 𝐺𝑃 ) ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) )
13 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
14 simp2l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → 𝑃𝐴 )
15 1 2 3 4 ltrnel ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) )
16 15 3com23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) )
17 eqid ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 )
18 1 6 8 2 3 17 cdleme0cq ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ( ( 𝐺𝑃 ) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ( 𝐺𝑃 ) 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) )
19 13 14 16 18 syl12anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( ( 𝐺𝑃 ) ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( meet ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) = ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) )
20 12 19 eqtrd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝐺𝑇 ) → ( ( 𝐺𝑃 ) 𝑉 ) = ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) )