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Theorem cdlemk12u-2N

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 18, p. 119, showing Eq. 4 (line 10, p. 119) for the sigma_2 ( V ) case. (Contributed by NM, 5-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk2.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk2.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk2.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk2.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk2.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk2.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk2.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk2.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk2.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk2.q 𝑄 = ( 𝑆𝐶 )
cdlemk2.v 𝑉 = ( 𝑑𝑇 ↦ ( 𝑘𝑇 ( 𝑘𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑑 ) ) ( ( 𝑄𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑑 𝐶 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemk12u-2N ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑉𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( ( ( 𝑉𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk2.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk2.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk2.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk2.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk2.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk2.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk2.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk2.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk2.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk2.q 𝑄 = ( 𝑆𝐶 )
11 cdlemk2.v 𝑉 = ( 𝑑𝑇 ↦ ( 𝑘𝑇 ( 𝑘𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑑 ) ) ( ( 𝑄𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑑 𝐶 ) ) ) ) ) )
12 simp11 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 simp12 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑊𝐻 )
14 12 13 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
15 simp211 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹𝑇 )
16 simp212 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐶𝑇 )
17 simp213 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑁𝑇 )
18 simp22l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
19 simp23l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑋𝑇 )
20 17 18 19 3jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) )
21 simp33 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
22 simp13 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
23 simp322 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
24 simp323 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
25 simp22r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
26 23 24 25 3jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
27 simp23r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
28 simp321 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) )
29 27 28 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ) )
30 simp31 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) )
31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk12u ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐶𝑇 ) ∧ ( ( 𝑁𝑇𝐺𝑇𝑋𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ) ) → ( ( 𝑉𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( ( ( 𝑉𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) ) )
32 14 15 16 20 21 22 26 29 30 31 syl333anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐶𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑋𝑇𝑋 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐶 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ∧ ( 𝑅𝑋 ) ≠ ( 𝑅𝐶 ) ) ∧ ( ( 𝑅𝐺 ) ≠ ( 𝑅𝑋 ) ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑉𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝐺𝑃 ) ) ( ( ( 𝑉𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑋 𝐺 ) ) ) ) )