Theorem cdlemk19u1

Description: cdlemk19 with simpler hypotheses. TODO: Clean all this up. (Contributed by NM, 31-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
	cdlemk5.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if ( 𝐹 = 𝑁 , 𝑔 , 𝑋 ) )
Assertion	cdlemk19u1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) = ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		cdlemk5.u	⊢ 𝑈 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if ( 𝐹 = 𝑁 , 𝑔 , 𝑋 ) )
13		simp22	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐹 ≠ 𝑁 )
14		simp21	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 )
15	11 12	cdlemk40f	⊢ ( ( 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) = ⦋ 𝐹 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
16	13 14 15	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) = ⦋ 𝐹 / 𝑔 ⦌ 𝑋 )
17	16	fveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) = ( ⦋ 𝐹 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) )
18		simp1l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
19		simp23	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 )
20		simp1r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) )
21	1 6 7 8	trlnid	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
22	18 14 19 13 20 21	syl122anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
23	14 22 19	3jca	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) )
24	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk19x	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ⦋ 𝐹 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) = ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) )
25	23 24	syld3an2	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ⦋ 𝐹 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ‘ 𝑃 ) = ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) )
26	17 25	eqtrd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐹 ) ‘ 𝑃 ) = ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) )