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Theorem cdlemk32

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. TODO: fix comment. Part of attempt to simplify hypotheses. (Contributed by NM, 17-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk3.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk3.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk3.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk3.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk3.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk3.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk3.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk3.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk3.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk3.u1 𝑌 = ( 𝑑𝑇 , 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemk32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑏 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk3.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk3.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk3.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk3.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk3.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk3.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk3.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk3.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk3.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk3.u1 𝑌 = ( 𝑑𝑇 , 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝑑 ) ) ) ) ) )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cdlemk31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑏 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
12 simp1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) )
13 simp2l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) )
14 simp31l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
15 simp321 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
16 simp322 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
17 15 16 jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
18 simp33 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cdlemk30 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) )
20 12 13 14 17 18 19 syl113anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) )
21 20 oveq1d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) = ( ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) )
22 21 oveq2d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
23 11 22 eqtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑏 𝑌 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )