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Theorem cdlemkuel-3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Conditions for the sigma_2 (p) function to be a translation. TODO: combine cdlemkj ? (Contributed by NM, 11-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk3.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk3.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk3.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk3.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk3.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk3.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk3.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk3.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk3.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk3.u1 𝑌 = ( 𝑑𝑇 , 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemkuel-3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk3.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk3.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk3.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk3.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk3.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk3.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk3.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk3.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk3.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk3.u1 𝑌 = ( 𝑑𝑇 , 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝑑 ) ) ) ) ) )
11 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐷𝑇 )
12 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
13 eqid ( 𝑆𝐷 ) = ( 𝑆𝐷 )
14 eqid ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) ) = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 14 cdlemkuu ( ( 𝐷𝑇𝐺𝑇 ) → ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) = ( ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) )
16 11 12 15 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) = ( ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) )
17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 14 cdlemkuel ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝐷 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) ) ‘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 )
18 16 17 eqeltrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝐷 𝑌 𝐺 ) ∈ 𝑇 )