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Theorem cdlemkuel

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Conditions for the sigma_1 (p) function to be a translation. TODO: combine cdlemkj ? (Contributed by NM, 2-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
cdlemk1.u 𝑈 = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemkuel ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑈𝐺 ) ∈ 𝑇 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk1.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk1.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk1.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk1.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk1.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk1.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
10 cdlemk1.o 𝑂 = ( 𝑆𝐷 )
11 cdlemk1.u 𝑈 = ( 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝐷 ) ) ) ) ) )
12 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
13 1 2 3 5 6 7 8 4 11 cdlemksv ( 𝐺𝑇 → ( 𝑈𝐺 ) = ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) ) )
14 12 13 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑈𝐺 ) = ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) ) )
15 eqid ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) ) = ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 cdlemkj ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( 𝑂𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝐷 ) ) ) ) ) ∈ 𝑇 )
17 14 16 eqeltrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐷𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝐷 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐷 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( 𝑈𝐺 ) ∈ 𝑇 )