Theorem cdlemk39s

Description: Substitution version of cdlemk39 . TODO: Can any commonality with cdlemk35s be exploited? (Contributed by NM, 23-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
	cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
	cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
	cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
	cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion	cdlemk39s	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		cdlemk5.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3		cdlemk5.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4		cdlemk5.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5		cdlemk5.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		cdlemk5.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		cdlemk5.t	⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8		cdlemk5.r	⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9		cdlemk5.z	⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10		cdlemk5.y	⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11		cdlemk5.x	⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12		simp22l	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
13	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	cdlemk39	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) )
14	13	sbcth	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) )
15		sbcimg	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ↔ ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → [ 𝐺 / 𝑔 ] ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ) )
16	14 15	mpbid	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → [ 𝐺 / 𝑔 ] ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) )
17		eleq1	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↔ 𝐺 ∈ 𝑇 ) )
18		neeq1	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
19	17 18	anbi12d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
20	19	3anbi2d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ↔ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ) )
21	20	3anbi2d	⊢ ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ) )
22	21	sbcieg	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ∧ 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) ) )
23		sbcbr12g	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ↔ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) )
24		csbfv2g	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) = ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) )
25		csbfv	⊢ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 )
26	25	a1i	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) = ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )
27	24 26	breq12d	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ↔ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
28	23 27	bitrd	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ↔ ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
29	16 22 28	3imtr3d	⊢ ( 𝐺 ∈ 𝑇 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
30	12 29	mpcom	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )