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Theorem cdlemk39

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 31, p. 119. Trace-preserving property of tau, represented by X . (Contributed by NM, 19-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk4.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk4.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk4.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk4.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk4.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk4.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk4.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk4.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk4.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
cdlemk4.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
cdlemk4.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk39 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk4.b ⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk4.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk4.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk4.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk4.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk4.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk4.t ⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk4.r ⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk4.z ⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk4.y ⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk4.x ⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp1l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 simp3ll ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
14 simp1 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) )
15 simp22l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 )
16 simp22r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
17 1 5 6 7 8 trlnidat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
18 14 15 16 17 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 )
19 2 3 5 hlatlej1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
20 12 13 18 19 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk38 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
22 12 hllatd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
23 1 5 atbase ⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵 )
24 13 23 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐵 )
25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑇 )
26 2 5 6 7 ltrnat ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
27 14 25 13 26 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 )
28 1 5 atbase ⊢ ( ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
29 27 28 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 )
30 1 3 5 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
31 12 13 18 30 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 )
32 1 2 3 latjle12 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
33 22 24 29 31 32 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) ↔ ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ) )
34 20 21 33 mpbi2and ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) )
35 1 3 5 hlatjcl ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 )
36 12 13 27 35 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 )
37 simp1r ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
38 1 6 lhpbase ⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ 𝐵 )
39 37 38 syl ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
40 1 2 4 latmlem1 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑊 ) ) )
41 22 36 31 39 40 syl13anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ≤ ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑊 ) ) )
42 34 41 mpd ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) ≤ ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑊 ) )
43 simp3l ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) )
44 2 3 4 5 6 7 8 trlval2 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) )
45 14 25 43 44 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑋 ‘ 𝑃 ) ) ∧ 𝑊 ) )
46 2 3 4 5 6 7 8 trlval5 ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑊 ) )
47 14 15 43 46 syl3anc ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑊 ) )
48 42 45 47 3brtr4d ⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝑋 ) ≤ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) )