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Theorem cdlemk35s

Description: Substitution version of cdlemk35 . (Contributed by NM, 22-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk35s ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp22l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺𝑇 )
13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝑋𝑇 )
14 13 sbcth ( 𝐺𝑇[ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝑋𝑇 ) )
15 sbcimg ( 𝐺𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝑋𝑇 ) ↔ ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → [ 𝐺 / 𝑔 ] 𝑋𝑇 ) ) )
16 14 15 mpbid ( 𝐺𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → [ 𝐺 / 𝑔 ] 𝑋𝑇 ) )
17 eleq1 ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑔𝑇𝐺𝑇 ) )
18 neeq1 ( 𝑔 = 𝐺 → ( 𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ↔ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
19 17 18 anbi12d ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) )
20 19 3anbi2d ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ↔ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ) )
21 20 3anbi2d ( 𝑔 = 𝐺 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) ) )
22 21 sbcieg ( 𝐺𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑔𝑇𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) ↔ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) ) )
23 sbcel1g ( 𝐺𝑇 → ( [ 𝐺 / 𝑔 ] 𝑋𝑇 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 ) )
24 16 22 23 3imtr3d ( 𝐺𝑇 → ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 ) )
25 12 24 mpcom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )