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Theorem cdlemkyyN

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. TODO: clean up ( b Y G ) stuff. (Contributed by NM, 21-Jul-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
cdlemk5a.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
cdlemk5a.u1 𝑉 = ( 𝑑𝑇 , 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝑑 ) ) ) ) ) )
Assertion cdlemkyyN ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) = ( ( 𝑏 𝑉 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 cdlemk5a.s 𝑆 = ( 𝑓𝑇 ↦ ( 𝑖𝑇 ( 𝑖𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑓 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑓 𝐹 ) ) ) ) ) )
13 cdlemk5a.u1 𝑉 = ( 𝑑𝑇 , 𝑒𝑇 ↦ ( 𝑗𝑇 ( 𝑗𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑒 ) ) ( ( ( 𝑆𝑑 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑒 𝑑 ) ) ) ) ) )
14 simp11 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
15 simp12 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝑊𝐻 )
16 14 15 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
17 simp13 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
18 simp211 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐹𝑇 )
19 simp3l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝑏𝑇 )
20 simp213 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝑁𝑇 )
21 simp3r2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) )
22 simp212 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
23 simp3r1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
24 22 23 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
25 simp23 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
26 1 2 3 4 5 6 7 8 12 cdlemk30 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) )
27 16 17 18 19 20 21 24 25 26 syl233anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) ) )
28 27 9 eqtr4di ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) = 𝑍 )
29 28 oveq1d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) = ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) )
30 29 oveq2d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
31 18 19 20 3jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) )
32 simp22l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐺𝑇 )
33 simp3r3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
34 21 33 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) )
35 simp22r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
36 22 23 35 3jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
37 1 2 3 4 5 6 7 8 12 13 cdlemk31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝑏𝑇𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ ( 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ) → ( ( 𝑏 𝑉 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
38 16 17 31 32 34 36 25 37 syl223anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( ( 𝑏 𝑉 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( ( ( 𝑆𝑏 ) ‘ 𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
39 18 22 jca ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
40 simp22 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
41 simp3 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) )
42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk42yN ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
43 16 39 40 20 25 17 41 42 syl331anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝐺 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝐺 𝑏 ) ) ) ) )
44 30 38 43 3eqtr4rd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑏𝑇 ∧ ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) = ( ( 𝑏 𝑉 𝐺 ) ‘ 𝑃 ) )