Metamath Proof Explorer

Theorem crngcom

Description: A commutative ring's multiplication operation is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringcl.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
ringcl.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion crngcom ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) = ( ๐‘Œ ยท ๐‘‹ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringcl.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 ringcl.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 eqid โŠข ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) = ( mulGrp โ€˜ ๐‘… )
4 3 crngmgp โŠข ( ๐‘… โˆˆ CRing โ†’ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ CMnd )
5 3 1 mgpbas โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
6 3 2 mgpplusg โŠข ยท = ( +g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
7 5 6 cmncom โŠข ( ( ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ CMnd โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) = ( ๐‘Œ ยท ๐‘‹ ) )
8 4 7 syl3an1 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) = ( ๐‘Œ ยท ๐‘‹ ) )