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Theorem dath2

Description: Version of Desargues's theorem dath with a different variable ordering. (Contributed by NM, 7-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses dathb.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
dathb.l = ( le ‘ 𝐾 )
dathb.j = ( join ‘ 𝐾 )
dathb.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dathb.m = ( meet ‘ 𝐾 )
dathb.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dathb.d 𝐷 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑆 𝑇 ) )
dathb.e 𝐸 = ( ( 𝑄 𝑅 ) ( 𝑇 𝑈 ) )
dathb.f 𝐹 = ( ( 𝑅 𝑃 ) ( 𝑈 𝑆 ) )
Assertion dath2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝐷 ( 𝐸 𝐹 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dathb.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 dathb.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dathb.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dathb.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dathb.m = ( meet ‘ 𝐾 )
6 dathb.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
7 dathb.d 𝐷 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝑆 𝑇 ) )
8 dathb.e 𝐸 = ( ( 𝑄 𝑅 ) ( 𝑇 𝑈 ) )
9 dathb.f 𝐹 = ( ( 𝑅 𝑃 ) ( 𝑈 𝑆 ) )
10 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) )
11 simp122 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝑄𝐴 )
12 simp123 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝑅𝐴 )
13 simp121 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝑃𝐴 )
14 11 12 13 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴 ) )
15 simp132 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝑇𝐴 )
16 simp133 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝑈𝐴 )
17 simp131 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝑆𝐴 )
18 15 16 17 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴 ) )
19 simp11l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
20 3 4 hlatjrot ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴 ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) 𝑃 ) = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) )
21 19 11 12 13 20 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) 𝑃 ) = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) )
22 simp2l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 )
23 21 22 eqeltrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝑄 𝑅 ) 𝑃 ) ∈ 𝑂 )
24 3 4 hlatjrot ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴 ) ) → ( ( 𝑇 𝑈 ) 𝑆 ) = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) )
25 19 15 16 17 24 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝑇 𝑈 ) 𝑆 ) = ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) )
26 simp2r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 )
27 25 26 eqeltrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ( 𝑇 𝑈 ) 𝑆 ) ∈ 𝑂 )
28 simp312 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) )
29 simp313 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) )
30 simp311 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) )
31 28 29 30 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) )
32 simp322 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) )
33 simp323 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) )
34 simp321 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) )
35 32 33 34 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ) )
36 simp332 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) )
37 simp333 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) )
38 simp331 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) )
39 36 37 38 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → ( 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ) )
40 1 2 3 4 5 6 8 9 7 dath ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑅𝐴𝑃𝐴 ) ∧ ( 𝑇𝐴𝑈𝐴𝑆𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑄 𝑅 ) 𝑃 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑇 𝑈 ) 𝑆 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ) ) ) → 𝐷 ( 𝐸 𝐹 ) )
41 10 14 18 23 27 31 35 39 40 syl323anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶𝐵 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 ) ∈ 𝑂 ∧ ( ( 𝑆 𝑇 ) 𝑈 ) ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) → 𝐷 ( 𝐸 𝐹 ) )