Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
2 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → 𝐵 ∈ ℂ ) |
3 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → 𝐵 ≠ 0 ) |
4 |
|
divcan1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) · 𝐵 ) = 𝐴 ) |
5 |
1 2 3 4
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / 𝐵 ) · 𝐵 ) = 𝐴 ) |
6 |
|
divcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
7 |
1 2 3 6
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
8 |
|
divne0 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / 𝐵 ) ≠ 0 ) |
9 |
|
divmul |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 / 𝐵 ) ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) · 𝐵 ) = 𝐴 ) ) |
10 |
1 2 7 8 9
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( ( 𝐴 / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = 𝐵 ↔ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) · 𝐵 ) = 𝐴 ) ) |
11 |
5 10
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ) ∧ ( 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ) ) → ( 𝐴 / ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = 𝐵 ) |