Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
0 |
|
cifs |
⊢ InnerFiveSeg |
1 |
|
vp |
⊢ 𝑝 |
2 |
|
vq |
⊢ 𝑞 |
3 |
|
vn |
⊢ 𝑛 |
4 |
|
cn |
⊢ ℕ |
5 |
|
va |
⊢ 𝑎 |
6 |
|
cee |
⊢ 𝔼 |
7 |
3
|
cv |
⊢ 𝑛 |
8 |
7 6
|
cfv |
⊢ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) |
9 |
|
vb |
⊢ 𝑏 |
10 |
|
vc |
⊢ 𝑐 |
11 |
|
vd |
⊢ 𝑑 |
12 |
|
vx |
⊢ 𝑥 |
13 |
|
vy |
⊢ 𝑦 |
14 |
|
vz |
⊢ 𝑧 |
15 |
|
vw |
⊢ 𝑤 |
16 |
1
|
cv |
⊢ 𝑝 |
17 |
5
|
cv |
⊢ 𝑎 |
18 |
9
|
cv |
⊢ 𝑏 |
19 |
17 18
|
cop |
⊢ 〈 𝑎 , 𝑏 〉 |
20 |
10
|
cv |
⊢ 𝑐 |
21 |
11
|
cv |
⊢ 𝑑 |
22 |
20 21
|
cop |
⊢ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 |
23 |
19 22
|
cop |
⊢ 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 |
24 |
16 23
|
wceq |
⊢ 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 |
25 |
2
|
cv |
⊢ 𝑞 |
26 |
12
|
cv |
⊢ 𝑥 |
27 |
13
|
cv |
⊢ 𝑦 |
28 |
26 27
|
cop |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 |
29 |
14
|
cv |
⊢ 𝑧 |
30 |
15
|
cv |
⊢ 𝑤 |
31 |
29 30
|
cop |
⊢ 〈 𝑧 , 𝑤 〉 |
32 |
28 31
|
cop |
⊢ 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 |
33 |
25 32
|
wceq |
⊢ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 |
34 |
|
cbtwn |
⊢ Btwn |
35 |
17 20
|
cop |
⊢ 〈 𝑎 , 𝑐 〉 |
36 |
18 35 34
|
wbr |
⊢ 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 |
37 |
26 29
|
cop |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑧 〉 |
38 |
27 37 34
|
wbr |
⊢ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 |
39 |
36 38
|
wa |
⊢ ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) |
40 |
|
ccgr |
⊢ Cgr |
41 |
35 37 40
|
wbr |
⊢ 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 |
42 |
18 20
|
cop |
⊢ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 |
43 |
27 29
|
cop |
⊢ 〈 𝑦 , 𝑧 〉 |
44 |
42 43 40
|
wbr |
⊢ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 |
45 |
41 44
|
wa |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) |
46 |
17 21
|
cop |
⊢ 〈 𝑎 , 𝑑 〉 |
47 |
26 30
|
cop |
⊢ 〈 𝑥 , 𝑤 〉 |
48 |
46 47 40
|
wbr |
⊢ 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 |
49 |
22 31 40
|
wbr |
⊢ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 |
50 |
48 49
|
wa |
⊢ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) |
51 |
39 45 50
|
w3a |
⊢ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) |
52 |
24 33 51
|
w3a |
⊢ ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
53 |
52 15 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
54 |
53 14 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
55 |
54 13 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
56 |
55 12 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
57 |
56 11 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
58 |
57 10 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
59 |
58 9 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
60 |
59 5 8
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
61 |
60 3 4
|
wrex |
⊢ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) |
62 |
61 1 2
|
copab |
⊢ { 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∣ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) } |
63 |
0 62
|
wceq |
⊢ InnerFiveSeg = { 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∣ ∃ 𝑛 ∈ ℕ ∃ 𝑎 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑦 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑧 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ∃ 𝑤 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑛 ) ( 𝑝 = 〈 〈 𝑎 , 𝑏 〉 , 〈 𝑐 , 𝑑 〉 〉 ∧ 𝑞 = 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 〈 𝑧 , 𝑤 〉 〉 ∧ ( ( 𝑏 Btwn 〈 𝑎 , 𝑐 〉 ∧ 𝑦 Btwn 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑧 〉 ∧ 〈 𝑏 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑦 , 𝑧 〉 ) ∧ ( 〈 𝑎 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝑧 , 𝑤 〉 ) ) ) } |