Theorem dfso3

Description: Expansion of the definition of a strict order. (Contributed by Scott Fenton, 6-Jun-2016)

	Ref	Expression
Assertion	dfso3	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝐴 ≠ ∅ )
2		r19.27zv	⊢ ( 𝐴 ≠ ∅ → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) )
3	1 2	syl	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) )
4	3	ralbiia	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
5	4	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
6		df-3an	⊢ ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
7	6	ralbii	⊢ ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
8	7	2ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
9		df-po	⊢ ( 𝑅 Po 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) )
10	9	anbi1i	⊢ ( ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
11		df-so	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ( 𝑅 Po 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
12		r19.26-2	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
13	10 11 12	3bitr4i	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )
14	5 8 13	3bitr4ri	⊢ ( 𝑅 Or 𝐴 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ∀ 𝑧 ∈ 𝐴 ( ¬ 𝑥 𝑅 𝑥 ∧ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑧 ) → 𝑥 𝑅 𝑧 ) ∧ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) )