Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nfrab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } |
2 |
|
nfrab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } |
3 |
1 2
|
nfdif |
⊢ Ⅎ 𝑥 ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∖ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) |
4 |
|
nfrab1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∣ 𝜑 } |
5 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
6 |
5
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) |
7 |
|
andi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∨ ( 𝜑 ∧ ¬ 𝜑 ) ) ) |
8 |
|
pm3.24 |
⊢ ¬ ( 𝜑 ∧ ¬ 𝜑 ) |
9 |
8
|
biorfi |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∨ ( 𝜑 ∧ ¬ 𝜑 ) ) ) |
10 |
|
ancom |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) |
11 |
7 9 10
|
3bitr2i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) |
12 |
11
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝜑 ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ) |
13 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝜑 ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ) ) |
14 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) ) |
15 |
12 13 14
|
3bitr4i |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) |
16 |
6 15
|
bitr4i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ) |
17 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∣ 𝜑 } ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∧ 𝜑 ) ) |
18 |
|
eldif |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∖ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) ↔ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) ) |
19 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) |
20 |
|
ianor |
⊢ ( ¬ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) |
21 |
|
rabid |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑 ) ) |
22 |
20 21
|
xchnxbir |
⊢ ( ¬ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ↔ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) |
23 |
19 22
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∧ ¬ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ) |
24 |
18 23
|
bitri |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∖ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( ¬ 𝑥 ∈ 𝐵 ∨ ¬ 𝜑 ) ) ) |
25 |
16 17 24
|
3bitr4ri |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∖ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) ↔ 𝑥 ∈ { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∣ 𝜑 } ) |
26 |
3 4 25
|
eqri |
⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∖ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜑 } ) = { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∖ 𝐵 ) ∣ 𝜑 } |