Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dpmul.a |
⊢ 𝐴 ∈ ℕ0 |
2 |
|
dpmul.b |
⊢ 𝐵 ∈ ℕ0 |
3 |
|
dpmul.c |
⊢ 𝐶 ∈ ℕ0 |
4 |
|
dpmul.d |
⊢ 𝐷 ∈ ℕ0 |
5 |
|
dpmul.e |
⊢ 𝐸 ∈ ℕ0 |
6 |
|
dpmul.g |
⊢ 𝐺 ∈ ℕ0 |
7 |
|
dpmul.j |
⊢ 𝐽 ∈ ℕ0 |
8 |
|
dpmul.k |
⊢ 𝐾 ∈ ℕ0 |
9 |
|
dpmul.1 |
⊢ ( 𝐴 · 𝐶 ) = 𝐹 |
10 |
|
dpmul.2 |
⊢ ( 𝐴 · 𝐷 ) = 𝑀 |
11 |
|
dpmul.3 |
⊢ ( 𝐵 · 𝐶 ) = 𝐿 |
12 |
|
dpmul.4 |
⊢ ( 𝐵 · 𝐷 ) = ; 𝐸 𝐾 |
13 |
|
dpmul.5 |
⊢ ( ( 𝐿 + 𝑀 ) + 𝐸 ) = ; 𝐺 𝐽 |
14 |
|
dpmul.6 |
⊢ ( 𝐹 + 𝐺 ) = 𝐼 |
15 |
1 2
|
deccl |
⊢ ; 𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 |
16 |
|
eqid |
⊢ ; 𝐶 𝐷 = ; 𝐶 𝐷 |
17 |
1 4
|
nn0mulcli |
⊢ ( 𝐴 · 𝐷 ) ∈ ℕ0 |
18 |
10 17
|
eqeltrri |
⊢ 𝑀 ∈ ℕ0 |
19 |
18 5
|
nn0addcli |
⊢ ( 𝑀 + 𝐸 ) ∈ ℕ0 |
20 |
|
eqid |
⊢ ; 𝐴 𝐵 = ; 𝐴 𝐵 |
21 |
3 1 2 20 9 11
|
decmul1 |
⊢ ( ; 𝐴 𝐵 · 𝐶 ) = ; 𝐹 𝐿 |
22 |
21
|
oveq1i |
⊢ ( ( ; 𝐴 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) = ( ; 𝐹 𝐿 + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) |
23 |
|
dfdec10 |
⊢ ; 𝐹 𝐿 = ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + 𝐿 ) |
24 |
23
|
oveq1i |
⊢ ( ; 𝐹 𝐿 + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) = ( ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + 𝐿 ) + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) |
25 |
|
10nn0 |
⊢ ; 1 0 ∈ ℕ0 |
26 |
25
|
nn0cni |
⊢ ; 1 0 ∈ ℂ |
27 |
1 3
|
nn0mulcli |
⊢ ( 𝐴 · 𝐶 ) ∈ ℕ0 |
28 |
9 27
|
eqeltrri |
⊢ 𝐹 ∈ ℕ0 |
29 |
28
|
nn0cni |
⊢ 𝐹 ∈ ℂ |
30 |
26 29
|
mulcli |
⊢ ( ; 1 0 · 𝐹 ) ∈ ℂ |
31 |
2 3
|
nn0mulcli |
⊢ ( 𝐵 · 𝐶 ) ∈ ℕ0 |
32 |
11 31
|
eqeltrri |
⊢ 𝐿 ∈ ℕ0 |
33 |
32
|
nn0cni |
⊢ 𝐿 ∈ ℂ |
34 |
19
|
nn0cni |
⊢ ( 𝑀 + 𝐸 ) ∈ ℂ |
35 |
30 33 34
|
addassi |
⊢ ( ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + 𝐿 ) + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) = ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( 𝐿 + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) ) |
36 |
18
|
nn0cni |
⊢ 𝑀 ∈ ℂ |
37 |
5
|
nn0cni |
⊢ 𝐸 ∈ ℂ |
38 |
33 36 37
|
addassi |
⊢ ( ( 𝐿 + 𝑀 ) + 𝐸 ) = ( 𝐿 + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) |
39 |
|
dfdec10 |
⊢ ; 𝐺 𝐽 = ( ( ; 1 0 · 𝐺 ) + 𝐽 ) |
40 |
13 38 39
|
3eqtr3ri |
⊢ ( ( ; 1 0 · 𝐺 ) + 𝐽 ) = ( 𝐿 + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) |
41 |
40
|
oveq2i |
⊢ ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ( ; 1 0 · 𝐺 ) + 𝐽 ) ) = ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( 𝐿 + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) ) |
42 |
|
dfdec10 |
⊢ ; 𝐼 𝐽 = ( ( ; 1 0 · 𝐼 ) + 𝐽 ) |
43 |
6
|
nn0cni |
⊢ 𝐺 ∈ ℂ |
44 |
26 29 43
|
adddii |
⊢ ( ; 1 0 · ( 𝐹 + 𝐺 ) ) = ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ; 1 0 · 𝐺 ) ) |
45 |
14
|
oveq2i |
⊢ ( ; 1 0 · ( 𝐹 + 𝐺 ) ) = ( ; 1 0 · 𝐼 ) |
46 |
44 45
|
eqtr3i |
⊢ ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ; 1 0 · 𝐺 ) ) = ( ; 1 0 · 𝐼 ) |
47 |
46
|
oveq1i |
⊢ ( ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ; 1 0 · 𝐺 ) ) + 𝐽 ) = ( ( ; 1 0 · 𝐼 ) + 𝐽 ) |
48 |
26 43
|
mulcli |
⊢ ( ; 1 0 · 𝐺 ) ∈ ℂ |
49 |
7
|
nn0cni |
⊢ 𝐽 ∈ ℂ |
50 |
30 48 49
|
addassi |
⊢ ( ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ; 1 0 · 𝐺 ) ) + 𝐽 ) = ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ( ; 1 0 · 𝐺 ) + 𝐽 ) ) |
51 |
42 47 50
|
3eqtr2ri |
⊢ ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + ( ( ; 1 0 · 𝐺 ) + 𝐽 ) ) = ; 𝐼 𝐽 |
52 |
35 41 51
|
3eqtr2i |
⊢ ( ( ( ; 1 0 · 𝐹 ) + 𝐿 ) + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) = ; 𝐼 𝐽 |
53 |
22 24 52
|
3eqtri |
⊢ ( ( ; 𝐴 𝐵 · 𝐶 ) + ( 𝑀 + 𝐸 ) ) = ; 𝐼 𝐽 |
54 |
10
|
oveq1i |
⊢ ( ( 𝐴 · 𝐷 ) + 𝐸 ) = ( 𝑀 + 𝐸 ) |
55 |
4 1 2 20 8 5 54 12
|
decmul1c |
⊢ ( ; 𝐴 𝐵 · 𝐷 ) = ; ( 𝑀 + 𝐸 ) 𝐾 |
56 |
15 3 4 16 8 19 53 55
|
decmul2c |
⊢ ( ; 𝐴 𝐵 · ; 𝐶 𝐷 ) = ; ; 𝐼 𝐽 𝐾 |
57 |
2
|
nn0rei |
⊢ 𝐵 ∈ ℝ |
58 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 . 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
59 |
1 57 58
|
mp2an |
⊢ ( 𝐴 . 𝐵 ) ∈ ℝ |
60 |
59
|
recni |
⊢ ( 𝐴 . 𝐵 ) ∈ ℂ |
61 |
4
|
nn0rei |
⊢ 𝐷 ∈ ℝ |
62 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℕ0 ∧ 𝐷 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 . 𝐷 ) ∈ ℝ ) |
63 |
3 61 62
|
mp2an |
⊢ ( 𝐶 . 𝐷 ) ∈ ℝ |
64 |
63
|
recni |
⊢ ( 𝐶 . 𝐷 ) ∈ ℂ |
65 |
60 64 26 26
|
mul4i |
⊢ ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ( ; 1 0 · ; 1 0 ) ) = ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ; 1 0 ) · ( ( 𝐶 . 𝐷 ) · ; 1 0 ) ) |
66 |
25
|
dec0u |
⊢ ( ; 1 0 · ; 1 0 ) = ; ; 1 0 0 |
67 |
66
|
oveq2i |
⊢ ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ( ; 1 0 · ; 1 0 ) ) = ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ; ; 1 0 0 ) |
68 |
1 57
|
dpmul10 |
⊢ ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ; 1 0 ) = ; 𝐴 𝐵 |
69 |
3 61
|
dpmul10 |
⊢ ( ( 𝐶 . 𝐷 ) · ; 1 0 ) = ; 𝐶 𝐷 |
70 |
68 69
|
oveq12i |
⊢ ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ; 1 0 ) · ( ( 𝐶 . 𝐷 ) · ; 1 0 ) ) = ( ; 𝐴 𝐵 · ; 𝐶 𝐷 ) |
71 |
65 67 70
|
3eqtr3i |
⊢ ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ; ; 1 0 0 ) = ( ; 𝐴 𝐵 · ; 𝐶 𝐷 ) |
72 |
28 6
|
nn0addcli |
⊢ ( 𝐹 + 𝐺 ) ∈ ℕ0 |
73 |
14 72
|
eqeltrri |
⊢ 𝐼 ∈ ℕ0 |
74 |
8
|
nn0rei |
⊢ 𝐾 ∈ ℝ |
75 |
73 7 74
|
dpmul100 |
⊢ ( ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) · ; ; 1 0 0 ) = ; ; 𝐼 𝐽 𝐾 |
76 |
56 71 75
|
3eqtr4i |
⊢ ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ; ; 1 0 0 ) = ( ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) · ; ; 1 0 0 ) |
77 |
60 64
|
mulcli |
⊢ ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) ∈ ℂ |
78 |
7
|
nn0rei |
⊢ 𝐽 ∈ ℝ |
79 |
|
dp2cl |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ) → _ 𝐽 𝐾 ∈ ℝ ) |
80 |
78 74 79
|
mp2an |
⊢ _ 𝐽 𝐾 ∈ ℝ |
81 |
|
dpcl |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ _ 𝐽 𝐾 ∈ ℝ ) → ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
82 |
73 80 81
|
mp2an |
⊢ ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) ∈ ℝ |
83 |
82
|
recni |
⊢ ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) ∈ ℂ |
84 |
|
10nn |
⊢ ; 1 0 ∈ ℕ |
85 |
84
|
decnncl2 |
⊢ ; ; 1 0 0 ∈ ℕ |
86 |
85
|
nncni |
⊢ ; ; 1 0 0 ∈ ℂ |
87 |
85
|
nnne0i |
⊢ ; ; 1 0 0 ≠ 0 |
88 |
86 87
|
pm3.2i |
⊢ ( ; ; 1 0 0 ∈ ℂ ∧ ; ; 1 0 0 ≠ 0 ) |
89 |
|
mulcan2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) ∈ ℂ ∧ ( ; ; 1 0 0 ∈ ℂ ∧ ; ; 1 0 0 ≠ 0 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ; ; 1 0 0 ) = ( ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) · ; ; 1 0 0 ) ↔ ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) = ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) ) ) |
90 |
77 83 88 89
|
mp3an |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) · ; ; 1 0 0 ) = ( ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) · ; ; 1 0 0 ) ↔ ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) = ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) ) |
91 |
76 90
|
mpbi |
⊢ ( ( 𝐴 . 𝐵 ) · ( 𝐶 . 𝐷 ) ) = ( 𝐼 . _ 𝐽 𝐾 ) |