Theorem dvdssubr

Description: An integer divides another iff it divides their difference. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011)

	Ref	Expression
Assertion	dvdssubr	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℤ )
2	1	ancoms	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℤ )
3		dvdsadd	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 − 𝑀 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑁 − 𝑀 ) ↔ 𝑀 ∥ ( 𝑀 + ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) )
4	2 3	syldan	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑁 − 𝑀 ) ↔ 𝑀 ∥ ( 𝑀 + ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ) )
5		zcn	⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ )
6		zcn	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ )
7		pncan3	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ) → ( 𝑀 + ( 𝑁 − 𝑀 ) ) = 𝑁 )
8	5 6 7	syl2an	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 + ( 𝑁 − 𝑀 ) ) = 𝑁 )
9	8	breq2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ ( 𝑀 + ( 𝑁 − 𝑀 ) ) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁 ) )
10	4 9	bitr2d	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ ( 𝑁 − 𝑀 ) ) )