Theorem elbl3

Description: Membership in a ball, with reversed distance function arguments. (Contributed by NM, 10-Nov-2007)

	Ref	Expression
Assertion	elbl3	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 𝐷 𝑃 ) < 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elbl2	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) )
2		xmetsym	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝑃 ) )
3	2	3expb	⊢ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝑃 ) )
4	3	adantlr	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) = ( 𝐴 𝐷 𝑃 ) )
5	4	breq1d	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ↔ ( 𝐴 𝐷 𝑃 ) < 𝑅 ) )
6	1 5	bitrd	⊢ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball ‘ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 𝐷 𝑃 ) < 𝑅 ) )