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Theorem elbl2

Description: Membership in a ball. (Contributed by NM, 9-Mar-2007)

Ref Expression
Assertion elbl2 ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simprr ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋 )
2 elbl ⊒ ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) ) )
3 2 3expa ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) β†’ ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) ) )
4 3 an32s ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) β†’ ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) ) )
5 4 adantrr ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) ) )
6 1 5 mpbirand ⊒ ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ∈ ( 𝑃 ( ball β€˜ 𝐷 ) 𝑅 ) ↔ ( 𝑃 𝐷 𝐴 ) < 𝑅 ) )