Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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homarcl.h |
⊢ 𝐻 = ( Homa ‘ 𝐶 ) |
2 |
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homafval.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐶 ) |
3 |
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homafval.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ Cat ) |
4 |
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homaval.j |
⊢ 𝐽 = ( Hom ‘ 𝐶 ) |
5 |
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homaval.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
6 |
|
homaval.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
homaval |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) = ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } × ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) ) |
8 |
7
|
breqd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) 𝐹 ↔ 𝑍 ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } × ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) 𝐹 ) ) |
9 |
|
brxp |
⊢ ( 𝑍 ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } × ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) 𝐹 ↔ ( 𝑍 ∈ { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) ) |
10 |
|
opex |
⊢ 〈 𝑋 , 𝑌 〉 ∈ V |
11 |
10
|
elsn2 |
⊢ ( 𝑍 ∈ { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ↔ 𝑍 = 〈 𝑋 , 𝑌 〉 ) |
12 |
11
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) ↔ ( 𝑍 = 〈 𝑋 , 𝑌 〉 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) ) |
13 |
9 12
|
bitri |
⊢ ( 𝑍 ( { 〈 𝑋 , 𝑌 〉 } × ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) 𝐹 ↔ ( 𝑍 = 〈 𝑋 , 𝑌 〉 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) ) |
14 |
8 13
|
bitrdi |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑍 ( 𝑋 𝐻 𝑌 ) 𝐹 ↔ ( 𝑍 = 〈 𝑋 , 𝑌 〉 ∧ 𝐹 ∈ ( 𝑋 𝐽 𝑌 ) ) ) ) |