Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
evenz |
⊢ ( 𝑍 ∈ Even → 𝑍 ∈ ℤ ) |
2 |
|
peano2zm |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℤ → ( 𝑍 − 1 ) ∈ ℤ ) |
3 |
1 2
|
syl |
⊢ ( 𝑍 ∈ Even → ( 𝑍 − 1 ) ∈ ℤ ) |
4 |
|
iseven |
⊢ ( 𝑍 ∈ Even ↔ ( 𝑍 ∈ ℤ ∧ ( 𝑍 / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
5 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℂ ) |
6 |
|
npcan1 |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℂ → ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) = 𝑍 ) |
7 |
5 6
|
syl |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℤ → ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) = 𝑍 ) |
8 |
7
|
eqcomd |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 = ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) ) |
9 |
8
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℤ → ( 𝑍 / 2 ) = ( ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ) |
10 |
9
|
eleq1d |
⊢ ( 𝑍 ∈ ℤ → ( ( 𝑍 / 2 ) ∈ ℤ ↔ ( ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
11 |
10
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝑍 ∈ ℤ ∧ ( 𝑍 / 2 ) ∈ ℤ ) → ( ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
12 |
4 11
|
sylbi |
⊢ ( 𝑍 ∈ Even → ( ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) |
13 |
|
isodd |
⊢ ( ( 𝑍 − 1 ) ∈ Odd ↔ ( ( 𝑍 − 1 ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( 𝑍 − 1 ) + 1 ) / 2 ) ∈ ℤ ) ) |
14 |
3 12 13
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝑍 ∈ Even → ( 𝑍 − 1 ) ∈ Odd ) |