Theorem expgt1

Description: A real greater than 1 raised to a positive integer is greater than 1. (Contributed by NM, 13-Feb-2005) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014)

	Ref	Expression
Assertion	expgt1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 1 < ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re	⊢ 1 ∈ ℝ
2	1	a1i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 1 ∈ ℝ )
3		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℝ )
4		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 𝑁 ∈ ℕ )
5	4	nnnn0d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 )
6		reexpcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ )
7	3 5 6	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ )
8		simp3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 1 < 𝐴 )
9		nnm1nn0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 )
10	4 9	syl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 )
11		ltle	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴 ) )
12	1 3 11	sylancr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 1 < 𝐴 → 1 ≤ 𝐴 ) )
13	8 12	mpd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 1 ≤ 𝐴 )
14		expge1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝐴 ) → 1 ≤ ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) )
15	3 10 13 14	syl3anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 1 ≤ ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) )
16		reexpcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝑁 − 1 ) ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ )
17	3 10 16	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ )
18		0red	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 0 ∈ ℝ )
19		0lt1	⊢ 0 < 1
20	19	a1i	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 0 < 1 )
21	18 2 3 20 8	lttrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 0 < 𝐴 )
22		lemul1	⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) ) → ( 1 ≤ ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 1 · 𝐴 ) ≤ ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · 𝐴 ) ) )
23	2 17 3 21 22	syl112anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 1 ≤ ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) ↔ ( 1 · 𝐴 ) ≤ ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · 𝐴 ) ) )
24	15 23	mpbid	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 1 · 𝐴 ) ≤ ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · 𝐴 ) )
25		recn	⊢ ( 𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ )
26	25	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ℂ )
27	26	mullidd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴 )
28	27	eqcomd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 𝐴 = ( 1 · 𝐴 ) )
29		expm1t	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · 𝐴 ) )
30	26 4 29	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) = ( ( 𝐴 ↑ ( 𝑁 − 1 ) ) · 𝐴 ) )
31	24 28 30	3brtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 𝐴 ≤ ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) )
32	2 3 7 8 31	ltletrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴 ) → 1 < ( 𝐴 ↑ 𝑁 ) )