Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) |
2 |
1
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) |
3 |
|
id |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) ) |
4 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ + ๐พ ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) |
5 |
3 4
|
oveq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ ( ๐ + ๐พ ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) |
6 |
5
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ๐พ ) ) ) = ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ) |
7 |
6
|
oveq1d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) |
8 |
2 7
|
breq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) ) |
9 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ ๐ ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) ) |
11 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) |
12 |
3 11
|
oveq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) = ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
oveq1d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) = ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) |
15 |
10 14
|
breq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) ) |
16 |
8 15
|
imbi12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) โ ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) ) ) |
17 |
|
oveq2 |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) = ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) |
19 |
|
oveq1 |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ๐พ โ 2 ) = ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) |
20 |
19
|
oveq2d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) = ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ) |
21 |
|
oveq2 |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) |
22 |
21
|
oveq2d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) |
23 |
20 22
|
oveq12d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) = ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) |
25 |
18 24
|
breq12d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) ) ) |
26 |
|
oveq1 |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ๐พ + 1 ) = ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) |
27 |
26
|
oveq2d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) = ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) |
28 |
27
|
oveq1d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) = ( ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) ) |
29 |
26
|
oveq1d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) = ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) = ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ) |
31 |
26
|
oveq2d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) |
32 |
31
|
oveq2d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) |
33 |
30 32
|
oveq12d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) = ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) = ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) |
35 |
28 34
|
breq12d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) ) |
36 |
25 35
|
imbi12d |
โข ( ๐พ = if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ ( ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) โ ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) ) ) |
37 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) = ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) |
38 |
37
|
oveq1d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) = ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) |
39 |
37
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) |
40 |
38 39
|
oveq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) ) |
41 |
|
fvoveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) = ( ! โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) |
42 |
41
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) = ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) ) |
43 |
40 42
|
breq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) ) ) |
44 |
|
oveq1 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) = ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) |
45 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) = ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) |
46 |
44 45
|
oveq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) = ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) ) |
47 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ! โ ๐ ) = ( ! โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) |
48 |
47
|
oveq2d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) = ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) ) |
49 |
46 48
|
breq12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) โ ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) ) ) |
50 |
43 49
|
imbi12d |
โข ( ๐ = if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) โ ( ( ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) โ ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) ) ) ) |
51 |
|
1nn |
โข 1 โ โ |
52 |
51
|
elimel |
โข if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ โ |
53 |
|
1nn0 |
โข 1 โ โ0 |
54 |
53
|
elimel |
โข if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ โ0 |
55 |
53
|
elimel |
โข if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ โ0 |
56 |
52 54 55
|
faclbnd4lem1 |
โข ( ( ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) โ if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ 1 ) ) ) โ ( ( if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) โ ( if ( ๐ โ โ0 , ๐ , 1 ) + ( if ( ๐พ โ โ0 , ๐พ , 1 ) + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ if ( ๐ โ โ , ๐ , 1 ) ) ) ) |
57 |
16 36 50 56
|
dedth3h |
โข ( ( ๐ โ โ0 โง ๐พ โ โ0 โง ๐ โ โ ) โ ( ( ( ( ๐ โ 1 ) โ ๐พ ) ยท ( ๐ โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ๐พ โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ๐พ ) ) ) ยท ( ! โ ( ๐ โ 1 ) ) ) โ ( ( ๐ โ ( ๐พ + 1 ) ) ยท ( ๐ โ ๐ ) ) โค ( ( ( 2 โ ( ( ๐พ + 1 ) โ 2 ) ) ยท ( ๐ โ ( ๐ + ( ๐พ + 1 ) ) ) ) ยท ( ! โ ๐ ) ) ) ) |