Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fiinfi.a |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) |
2 |
|
fiinfi.b |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
3 |
|
fiinfi.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
4 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 ) |
5 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 ) |
6 |
5
|
imim1i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) ) |
7 |
6
|
ralimi2 |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) |
8 |
4 7
|
imim12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) ) |
9 |
8
|
ralimi2 |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) |
10 |
1 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) |
11 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑦 ∈ 𝐵 ) |
13 |
12
|
imim1i |
⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
14 |
13
|
ralimi2 |
⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
15 |
11 14
|
imim12i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
16 |
15
|
ralimi2 |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
17 |
2 16
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) |
18 |
|
r19.26-2 |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
19 |
10 17 18
|
sylanbrc |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
20 |
|
elin |
⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
21 |
20
|
2ralbii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ) |
22 |
19 21
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) |
23 |
3
|
eleq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
24 |
23
|
ralbidv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
25 |
24
|
ralbidv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) |
26 |
22 25
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) |
27 |
3
|
raleqdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) ) |
28 |
27
|
ralbidv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) ) |
29 |
26 28
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) |
30 |
3
|
raleqdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐶 ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) ) |
31 |
29 30
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐶 ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) |