Theorem fiinfi

Description: If two classes have the finite intersection property, then so does their intersection. (Contributed by RP, 1-Jan-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	fiinfi.a	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 )
	fiinfi.b	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
	fiinfi.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
Assertion	fiinfi	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐶 ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fiinfi.a	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 )
2		fiinfi.b	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
3		fiinfi.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 = ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
4		elinel1	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐴 )
5		elinel1	⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑦 ∈ 𝐴 )
6	5	imim1i	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) )
7	6	ralimi2	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 )
8	4 7	imim12i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ) )
9	8	ralimi2	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 )
10	1 9	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 )
11		elinel2	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 )
12		elinel2	⊢ ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → 𝑦 ∈ 𝐵 )
13	12	imim1i	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) )
14	13	ralimi2	⊢ ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
15	11 14	imim12i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 → ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) → ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) )
16	15	ralimi2	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
17	2 16	syl	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 )
18		r19.26-2	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) ↔ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) )
19	10 17 18	sylanbrc	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) )
20		elin	⊢ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) )
21	20	2ralbii	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐵 ) )
22	19 21	sylibr	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) )
23	3	eleq2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )
24	23	ralbidv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )
25	24	ralbidv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) )
26	22 25	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 )
27	3	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) )
28	27	ralbidv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) )
29	26 28	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 )
30	3	raleqdv	⊢ ( 𝜑 → ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐶 ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ↔ ∀ 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 ) )
31	29 30	mpbird	⊢ ( 𝜑 → ∀ 𝑥 ∈ 𝐶 ∀ 𝑦 ∈ 𝐶 ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∈ 𝐶 )