Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-pr |
⊢ { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } = ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ∪ { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ) |
2 |
1
|
fveq1i |
⊢ ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐴 ) = ( ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ∪ { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ) ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
necom |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
4 |
|
fvunsn |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐴 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ∪ { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ) ‘ 𝐴 ) = ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐴 ) ) |
5 |
3 4
|
sylbi |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ∪ { 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ) ‘ 𝐴 ) = ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐴 ) ) |
6 |
2 5
|
eqtrid |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐵 → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐴 ) = ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐴 ) ) |
7 |
6
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐴 ) = ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐴 ) ) |
8 |
|
fvsng |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ) → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐴 ) = 𝐶 ) |
9 |
8
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 } ‘ 𝐴 ) = 𝐶 ) |
10 |
7 9
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ) → ( { 〈 𝐴 , 𝐶 〉 , 〈 𝐵 , 𝐷 〉 } ‘ 𝐴 ) = 𝐶 ) |