Theorem gsummulglem

Description: Lemma for gsummulg and gsummulgz . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015) (Revised by AV, 6-Jun-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	gsummulg.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
	gsummulg.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 )
	gsummulg.t	⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 )
	gsummulg.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 )
	gsummulg.f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
	gsummulg.w	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋 ) finSupp 0 )
	gsummulglem.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd )
	gsummulglem.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
	gsummulglem.o	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0 ) )
Assertion	gsummulglem	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( 𝑁 · ( 𝐺 Σg ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummulg.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		gsummulg.z	⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝐺 )
3		gsummulg.t	⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 )
4		gsummulg.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉 )
5		gsummulg.f	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		gsummulg.w	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋 ) finSupp 0 )
7		gsummulglem.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd )
8		gsummulglem.n	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ )
9		gsummulglem.o	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ Abel ∨ 𝑁 ∈ ℕ0 ) )
10		cmnmnd	⊢ ( 𝐺 ∈ CMnd → 𝐺 ∈ Mnd )
11	7 10	syl	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd )
12	1 3	mulgghm	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpHom 𝐺 ) )
13		ghmmhm	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpHom 𝐺 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) )
14	12 13	syl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) )
15	14	expcom	⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → ( 𝐺 ∈ Abel → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) ) )
16	8 15	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 ∈ Abel → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) ) )
17	1 3	mulgmhm	⊢ ( ( 𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) )
18	17	ex	⊢ ( 𝐺 ∈ CMnd → ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) ) )
19	7 18	syl	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ∈ ℕ0 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) ) )
20	16 19 9	mpjaod	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑁 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 MndHom 𝐺 ) )
21		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑋 → ( 𝑁 · 𝑥 ) = ( 𝑁 · 𝑋 ) )
22		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝐺 Σg ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋 ) ) → ( 𝑁 · 𝑥 ) = ( 𝑁 · ( 𝐺 Σg ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋 ) ) ) )
23	1 2 7 11 4 20 5 6 21 22	gsummhm2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐺 Σg ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ( 𝑁 · 𝑋 ) ) ) = ( 𝑁 · ( 𝐺 Σg ( 𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋 ) ) ) )