Theorem mulgghm

Description: The map from x to n x for a fixed integer n is a group homomorphism if the group is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
	mulgmhm.m	⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 )
Assertion	mulgghm	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpHom 𝐺 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgmhm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		mulgmhm.m	⊢ · = ( .g ‘ 𝐺 )
3		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝐺 ) = ( +g ‘ 𝐺 )
4		ablgrp	⊢ ( 𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp )
5	4	adantr	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → 𝐺 ∈ Grp )
6	1 2	mulgcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
7	4 6	syl3an1	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
8	7	3expa	⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑀 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
9	8	fmpttd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
10		3anass	⊢ ( ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) )
11	1 2 3	mulgdi	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑀 · 𝑧 ) ) )
12	10 11	sylan2br	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑀 · 𝑧 ) ) )
13	12	anassrs	⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑀 · 𝑧 ) ) )
14	1 3	grpcl	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
15	14	3expb	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Grp ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
16	5 15	sylan	⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
17		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) )
18		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) )
19		ovex	⊢ ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) ∈ V
20	17 18 19	fvmpt	⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) )
21	16 20	syl	⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) = ( 𝑀 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) )
22		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · 𝑦 ) )
23		ovex	⊢ ( 𝑀 · 𝑦 ) ∈ V
24	22 18 23	fvmpt	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑀 · 𝑦 ) )
25		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑀 · 𝑥 ) = ( 𝑀 · 𝑧 ) )
26		ovex	⊢ ( 𝑀 · 𝑧 ) ∈ V
27	25 18 26	fvmpt	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑀 · 𝑧 ) )
28	24 27	oveqan12d	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑀 · 𝑧 ) ) )
29	28	adantl	⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑀 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( 𝑀 · 𝑧 ) ) )
30	13 21 29	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝐺 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝐺 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
31	1 1 3 3 5 5 9 30	isghmd	⊢ ( ( 𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑀 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝐺 GrpHom 𝐺 ) )