Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relcnv |
⊢ Rel ◡ 𝑅 |
2 |
|
relin2 |
⊢ ( Rel ◡ 𝑅 → Rel ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ) |
3 |
|
ssrel |
⊢ ( Rel ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) → ( ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ⊆ I ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) ) |
4 |
1 2 3
|
mp2b |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ⊆ I ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ) |
5 |
|
elin |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ↔ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝑅 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ◡ 𝑅 ) ) |
6 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝑅 ) |
7 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
8 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
9 |
7 8
|
brcnv |
⊢ ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝑦 ↔ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
10 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝑦 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ◡ 𝑅 ) |
11 |
9 10
|
bitr3i |
⊢ ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ◡ 𝑅 ) |
12 |
6 11
|
anbi12i |
⊢ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ 𝑅 ∧ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ◡ 𝑅 ) ) |
13 |
5 12
|
bitr4i |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ↔ ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
14 |
|
df-br |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) |
15 |
8
|
ideq |
⊢ ( 𝑥 I 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦 ) |
16 |
14 15
|
bitr3i |
⊢ ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ↔ 𝑥 = 𝑦 ) |
17 |
13 16
|
imbi12i |
⊢ ( ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ↔ ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
18 |
17
|
2albii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) → 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∈ I ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
19 |
4 18
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ◡ 𝑅 ) ⊆ I ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( 𝑥 𝑅 𝑦 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |