Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
relinxp |
⊢ Rel ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
2 |
|
ssrel3 |
⊢ ( Rel ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ) ) |
3 |
1 2
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ) |
4 |
|
inxpss3 |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |
5 |
3 4
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ⊆ ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |