Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brinxp2 |
⊢ ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) ) |
2 |
|
brinxp2 |
⊢ ( 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |
3 |
1 2
|
imbi12i |
⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
4 |
|
imdistan |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
5 |
3 4
|
bitr4i |
⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
6 |
5
|
2albii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
7 |
|
r2al |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
8 |
6 7
|
bitr4i |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 ( 𝑆 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |