Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brinxp2 |
⊢ ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) ) |
2 |
1
|
imbi1i |
⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |
3 |
|
impexp |
⊢ ( ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 𝑅 𝑦 ) → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
4 |
2 3
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
5 |
4
|
2albii |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
6 |
|
relinxp |
⊢ Rel ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) |
7 |
|
ssrel3 |
⊢ ( Rel ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) → ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ⊆ 𝑆 ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
8 |
6 7
|
ax-mp |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ⊆ 𝑆 ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝑥 ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |
9 |
|
r2al |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ↔ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) ) |
10 |
5 8 9
|
3bitr4i |
⊢ ( ( 𝑅 ∩ ( 𝐴 × 𝐵 ) ) ⊆ 𝑆 ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ( 𝑥 𝑅 𝑦 → 𝑥 𝑆 𝑦 ) ) |