Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brinxp2 |
|- ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) ) |
2 |
1
|
imbi1i |
|- ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> x S y ) ) |
3 |
|
impexp |
|- ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> x S y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) ) |
4 |
2 3
|
bitri |
|- ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) ) |
5 |
4
|
2albii |
|- ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) ) |
6 |
|
relinxp |
|- Rel ( R i^i ( A X. B ) ) |
7 |
|
ssrel3 |
|- ( Rel ( R i^i ( A X. B ) ) -> ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) ) ) |
8 |
6 7
|
ax-mp |
|- ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x S y ) ) |
9 |
|
r2al |
|- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) ) |
10 |
5 8 9
|
3bitr4i |
|- ( ( R i^i ( A X. B ) ) C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) ) |