Theorem inxpss3

Description: Two ways to say that an intersection with a Cartesian product is a subclass (see also inxpss ). (Contributed by Peter Mazsa, 8-Mar-2019)

	Ref	Expression
Assertion	inxpss3	|- ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brinxp2	|- ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) )
2		brinxp2	|- ( x ( S i^i ( A X. B ) ) y <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x S y ) )
3	1 2	imbi12i	|- ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x S y ) ) )
4		imdistan	|- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x R y ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ x S y ) ) )
5	3 4	bitr4i	|- ( ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
6	5	2albii	|- ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
7		r2al	|- ( A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( x R y -> x S y ) ) )
8	6 7	bitr4i	|- ( A. x A. y ( x ( R i^i ( A X. B ) ) y -> x ( S i^i ( A X. B ) ) y ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x R y -> x S y ) )