Theorem jm2.21

Description: Lemma for jm2.20nn . Express X and Y values as a binomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014)

	Ref	Expression
Assertion	jm2.21	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐽 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmbaserp	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℝ+ )
2	1	rpcnne0d	⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 ) )
3		expmulz	⊢ ( ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ≠ 0 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑁 · 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ 𝐽 ) )
4	2 3	sylan	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑁 · 𝐽 ) ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ 𝐽 ) )
5		zmulcl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) → ( 𝑁 · 𝐽 ) ∈ ℤ )
6		rmxyval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑁 · 𝐽 ) ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑁 · 𝐽 ) ) )
7	5 6	sylan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ ( 𝑁 · 𝐽 ) ) )
8		rmxyval	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) )
9	8	adantrr	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) = ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) )
10	9	oveq1d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) ) → ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐽 ) = ( ( ( 𝐴 + ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) ) ↑ 𝑁 ) ↑ 𝐽 ) )
11	4 7 10	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐽 ) )
12	11	3impb	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Xrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 · 𝐽 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) + ( ( √ ‘ ( ( 𝐴 ↑ 2 ) − 1 ) ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ↑ 𝐽 ) )