Theorem latj4rot

Description: Rotate lattice join of 4 classes. (Contributed by NM, 11-Jul-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
Assertion	latj4rot	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		simp1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
4		simp3l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
5		simp3r	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐵 )
6	1 2	latjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) )
7	3 4 5 6	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) )
8	7	oveq2d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) ) )
9	5 4	jca	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) )
10	1 2	latj4	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑊 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
11	9 10	syld3an3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑊 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
12		simp2l	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
13	1 2	latjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) )
14	3 12 5 13	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) = ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) )
15	14	oveq1d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑊 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) = ( ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )
16	8 11 15	3eqtrd	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑊 ) ) = ( ( 𝑊 ∨ 𝑋 ) ∨ ( 𝑌 ∨ 𝑍 ) ) )