Theorem lidlnegcl

Description: An ideal contains negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	lidlcl.u	⊢ 𝑈 = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
	lidlnegcl.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
Assertion	lidlnegcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐼 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlcl.u	⊢ 𝑈 = ( LIdeal ‘ 𝑅 )
2		lidlnegcl.n	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ 𝑅 )
3		rlmvneg	⊢ ( invg ‘ 𝑅 ) = ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
4	2 3	eqtri	⊢ 𝑁 = ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
5	4	fveq1i	⊢ ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) = ( ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ‘ 𝑋 )
6		rlmlmod	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod )
7	6	3ad2ant1	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod )
8		simpr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) → 𝐼 ∈ 𝑈 )
9		lidlval	⊢ ( LIdeal ‘ 𝑅 ) = ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
10	1 9	eqtri	⊢ 𝑈 = ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
11	8 10	eleqtrdi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ) → 𝐼 ∈ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) )
12	11	3adant3	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → 𝐼 ∈ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) )
13		simp3	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → 𝑋 ∈ 𝐼 )
14		eqid	⊢ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) = ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
15		eqid	⊢ ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) = ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) )
16	14 15	lssvnegcl	⊢ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ ( LSubSp ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → ( ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐼 )
17	7 12 13 16	syl3anc	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → ( ( invg ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐼 )
18	5 17	eqeltrid	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ 𝐼 ) → ( 𝑁 ‘ 𝑋 ) ∈ 𝐼 )