Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lnoadd.1 |
⊢ 𝑋 = ( BaseSet ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
lnoadd.5 |
⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘ 𝑈 ) |
3 |
|
lnoadd.6 |
⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
lnoadd.7 |
⊢ 𝐿 = ( 𝑈 LnOp 𝑊 ) |
5 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
6 |
|
eqid |
⊢ ( BaseSet ‘ 𝑊 ) = ( BaseSet ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) = ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) |
9 |
1 6 2 3 7 8 4
|
lnolin |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) 𝐺 𝐵 ) ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) 𝐻 ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) ) ) |
10 |
5 9
|
mp3anr1 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) 𝐺 𝐵 ) ) = ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) 𝐻 ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) ) ) |
11 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) → 𝑈 ∈ NrmCVec ) |
12 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ 𝑋 ) |
13 |
1 7
|
nvsid |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = 𝐴 ) |
14 |
11 12 13
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) = 𝐴 ) |
15 |
14
|
fvoveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑈 ) 𝐴 ) 𝐺 𝐵 ) ) = ( 𝑇 ‘ ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ) ) |
16 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → 𝑊 ∈ NrmCVec ) |
17 |
1 6 4
|
lnof |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) → 𝑇 : 𝑋 ⟶ ( BaseSet ‘ 𝑊 ) ) |
18 |
|
ffvelrn |
⊢ ( ( 𝑇 : 𝑋 ⟶ ( BaseSet ‘ 𝑊 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ( BaseSet ‘ 𝑊 ) ) |
19 |
17 12 18
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ( BaseSet ‘ 𝑊 ) ) |
20 |
6 8
|
nvsid |
⊢ ( ( 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ∈ ( BaseSet ‘ 𝑊 ) ) → ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) |
21 |
16 19 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) = ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) |
22 |
21
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( ( 1 ( ·𝑠OLD ‘ 𝑊 ) ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) ) 𝐻 ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) 𝐻 ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) ) ) |
23 |
10 15 22
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ) ) → ( 𝑇 ‘ ( 𝐴 𝐺 𝐵 ) ) = ( ( 𝑇 ‘ 𝐴 ) 𝐻 ( 𝑇 ‘ 𝐵 ) ) ) |